一．概念描述

现代数学：长期以来，人们虽然能够在日常生活中运用自然数，描述自然数，却不能严格地定义自然数。19世纪末，数学研究崇尚严密，尤其崇尚用公理化方法定义数学对象。1889年，意大利数学家皮亚诺建立了自然数的公理系统。其中使用了两个形式符号：1

和’，它们要满足以下五条公理：①1是自然数；②每个自然数a都有一个后继a’；③1不是任何自然数的后继；④若a’=b’则a=b；⑤（归纳公理）自然数的某个集合若含1，而且如果含一个自然数a就一定含a’，那么这个集合含全体自然数。满足这5条公理的对象称为自然数。所有自然数所组成的集合记为N。不过，由于在数学理论的发展中自然数集的定义不包含0，这种按照皮亚诺最初的记法来定义的自然数系，也是从1开始的，不包含0。1993年我国开始使用新的国家标准定义自然数集N含0，这时就要将公理中的1换成0。 小学数学：自然数这个概念虽然在数学上有严格的定义，但是对于小学生而言过于抽象。因此，在小学阶段，2011年人教版教材四年级上册只是举了一些实例来描述自然数这个概念，即表示物体个数的1，2，3，4，5，6，7，8，9，10，11，…都是自然数。一个物体也没有，用0表示。0也是自然数。

二．概念解读

“自然数”这一术语首先被罗马学者波伊修斯使用。在古代，所谓数，就是指自然数。我国文献《周易·系辞传下》中有古人“结绳记数”和“刻痕记数”的记载。西方的荷马史诗中有盲人波吕斐摩斯用“石头计数羊群”的故事，说明自然数就像它的名字那样是基于人们生活的实际需求“自然地”产生的。

古代先人们在生产和生活实践中，通过对物件的计量逐渐形成了“多少”的概念。渐渐地，从一只羊、一个人、一块石头，抽象出自然数“1”的概念。同样从3个猎物、3棵树，抽象出自然数3的概念。不过，开始时没有语言文字，只是用“绳结”作为替代物，一一对应地仿制下来，形成等价集合。后来根据数量大小不同就有了关于“自然数”的言语称谓：yi、er、san ......于是，面对一个群体，就可以计算它的多少了，办法就是数。后来传说中的仓颉造字，出现了“一”、 “二”、“三”的字样。目前通用的数字记法1，2，3等是古印度人创造的，并通过阿拉伯人传到西方。20世纪以来，我国也和国际接轨，大量使用这种记数法。这一简单的历史追溯，解释了朴素的自然数概念的漫长形成过程。

在义务教育数学课程中，数的概念包括自然数、整数、有理数等。其中，自然数亦称非负整数，是数系中最基本的一种数。它是在数数过程中产生的。作为数数的结果，自然数反映了被数事物的个数，回答了—个集合含“多少个米素”的问题，这是自然数作为基数的特点；作为数数的过程，自然数又反映了被数事物的先后顺序，以及自然数的无限性，回答了“第几个”的问题，这是自然数作为序数的特点。二者彼此相通，共同反映了离散事物的记数特征。如果一个事物也没有，就形成了“0”的概念。0比1还小，所以排在自然数列的最前面，而数1是自然数的单位。从0开始，以后逐次加1，这样无限地进行下去就可以得

到全体自然数。所以，自然数集合是无限的。对于任何一个确定的自然数，总还存在比它更大的自然数。

当然，除了将自然散作为基数和序数，还应该从多角度理解自然数的特征。首先，自然数作为问题“多少次？”的答案，在语言上是数副词，它可以看作“一个行为或一个过程反复出现次数”的标记。其次，自然数作为与所选单位有关的表示大小的量数----相关问题是“多大？多长？多重？”等，还可以作为度量的结果。同时，理解自然数还可以用集合语言进行解释。但自然数一旦生成之后，又成了一个代数结构，这时它又称为了“计算”的对象。最后，从代码角度审视自然数时，我们会发现它又能被用作对象的区分与标记（如电话号码，邮政编码，坐标等）。

自然数概念是人类积累数学知识的开端，也是一切数学知识的基础。而小学生学习的是朴素的自然数知识，是依赖自身生活经验建立起来的。

三．教学建议

自然数作为人类最初认识的数，是整座数学大厦的基础，是重要的数学概念。同时，自然数概念本身又是抽象的，它的概念建立也不是一次就能够完成的。因此，教材根据儿童已有经验、心理发展规律，按照螺旋上升的编排原则，将自然数概念的教学划分为若干阶段。在儿童步入小学校门的第一学期，组织他们学习20以内各数的认识。这是自然数概念中最基础的知识之一，是建立数感的开始，也是认数教学的第一阶段。到了第二学期，教材将认数范围从20以内扩展到100以内，这是认数教学的第二阶段。升人二年级后，教材又将认数范围扩展到万以内。随着孩子年龄的增长，作为万以内数认识的巩固和扩展，学生又在四年级学习大数的认识，这也是学生必须掌握的最基础的数学知识之一。

①低年级教师要重视“数数”的教学，深入挖掘“数数”的教育价值。首先，“数数”活动是学生形成“数概念”的基础。通过一个一个地数，学生知道了某个集合的数量，通过2个2个地数或5个5个地数，学生丰富了对“数”的认识。通过数列的变化规律，学生进一步认识数的特性。其次，“数数”活动中蕴含着丰富的数学思想。在数数时，特别是点数时，学生必然用到一一对应的原则，即每说一个数必然对应一个物体。而一一对应作为数学中重要的数学思想，它能够建立起事物与事物之间的对应关系。

②要重视学生的操作活动体验。数（自然数）表明的是事物与事物之间的相互关系，是一个物体在一个序列中的位置以及一组物体中包含了多少个物体。这种关系不是直接用语言来教的，而是需要学生通过多种感知、操作在活动中不断体验、发现、创造的。

③要重视“齐性”、“结构性”直观学具的使用。既然在教学中要重视学生的操作活动，那么为学生提供可操作的、直观化的学具就显得尤为重要。这些材料包括手指，小棒，豆子，第纳斯木块这样一些“齐性”材料，还包括计数器，数位筒，算盘这样一些“结构性”的直观学具。

四．推荐阅读

（1）《小学数学研究》（张奠宙等，高等教育出版社，2009）

该书第二章主要从自然数概念的产生、意义及特征等角度对自然数进行了论述。

（2）《小学数学课堂的有效教学》（刘加霞，北京师范大学出版社，2008）

该书从自然数概念的本质把握、教学方式及学具使用等多角度，对自然数教学进行了较详实的介绍，对广大低年级一线教师教学有一定的指导意义。