看到这个题目，您或许会有两个想法：

1.按按计算器就知道了，比如：√2=2^0.5=1.4142135623730950488016887242097……；

2.是不是要介绍“手算开平方”？实在抱歉，曾经的我也不是个十分专心的学生，竟是忘了。当然，百度一下，再度钻研贴文也是可以的，不过兴趣待定。

其实，本文想说的还就是和想法1有关。您有没有想过：计算器又是怎样计算的呢？

我不确定计算器背后的算法一定是什么，但我确定的知道一种比较可行的方法：利用迭代函数迭代计算n次方根。今天就先来看看“二次方根”或“平方根”的计算方法。

二次方根迭代函数如下：

f(x)=x/2 C/(2*x)

其中：

x^2=C

或

C^0.5=x

即：函数中的C是被开方数，x是求解目标“二次方根”。

（备注：呃，请不要问我这个迭代函数是怎么来的，据说和“泰勒级数”有关，这得从“数学分析”中寻找答案，汗……）

什么是“迭代”？

①猜测一个初始值x0，比如：x0=1（不会猜，就选1）；

②计算函数值x1，其中：x1=f(x0)，即把x0代入迭代函数求值；

③迭代：x0=x1；

④反复循环②③两步直至符合指定的精度要求。

可见：迭代就是把上一次输出的结果作为下一次输入的结果并反复执行。

这样做神奇吗？来让我们试试。

例1.求根号2的值。

①x0=1

②x1= x/2 C/(2*x)=1/2 2/(2*1)=1.5

③x0=x1=1.5

④x1= x/2 C/(2*x)=1.5/2 2/(2*1.5)≈1.416666667

⑤x0=x1=1.416666667

⑥x1= x/2 C/(2*x)=1.416666667/2 2/(2*1.416666667)≈1.414215686

⑦x0=x1=1.414215686

⑧x1= x/2 C/(2*x)=1.414215686/2 2/(2*1.414215686)≈1.414213562

⑨……

只需迭代4次就可以得到9位小数精度，足够应付很多计算需要了。

例2.求1234567的平方根。

呵呵，手算基本是不可能的，小数位数多，会让人抓狂的，下面是电子表格计算的数据，供参考：

第1次 1

第2次 617284

第3次 308643

第4次 154323.5

第5次 77165.74993

第6次 38590.87441

第7次 19311.43279

第8次 9687.68106

第9次 4907.558926

第10次 2579.561651

第11次 1529.078654

第12次 1168.235696

第13次 1112.507369

第14次 1111.111582

第15次 1111.110706

……

迭代了15次后，达到了一般稳定精度要求。不过，如果初始值不是1，而是与准确值更接近一些，比如1000，则迭代次数会大幅下降，如下：

第1次 1000

第2次 1117.2835

第3次 1111.127757

第4次 1111.110706

……

仅需4次。初值的选择是很重要的，好的初值估计，算是核心技术。

本文算是帮您打开了一扇门，但同时，您会发现更多关上的门，比如：三次方根呢？四次、五次、小数次、无理数次……方根呢？比如：被开方数是小数、负数、无理数……呢？呵呵，这会让我们头很大的。

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