一、复合函数

定义：设函数 z = f ( y ) 定义在数集 B ，函数 y = ψ ( x ) 定义在数集 A ，G 是 A 中使 y = ψ ( x ) ∈ B 的 x 的非空子集 （如图1），即

G = { x ∣ x ∈ A, ψ ( x ) ∈ B } ≠ ∅ 。

对任意的 x ∈ G , 按照对应关系 ψ ， 对应唯一一个 y ∈ B ，再按照对应关系 f ， 对应唯一一个 z（如图1） ，即 对任意的 x ∈ G 都对应唯一一个 z 。于是在 G 上定义了一个函数 ， 表为 f • ψ ，称为函数 y = ψ ( x ) 与 z = f ( y ) 的 复合函数 ， 即

( f • ψ) （x） = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G , y 称为中间变数（如图2） 。

注：经常将函数 y = ψ ( x ) 与 z = f ( y ) 的复合函数表为 z = f [ ψ ( x ) ] , x ∈ G 。

图（1）

图（2）

例题1、

例题1图

例题2、（三个函数生成的复合函数 ）设 u = √z , z = ln y , y = 2x + 3 , 则 u = √[ ln ( 2x + 3 )] , x ∈ [ -1 , + ∞ ] 。

二、反函数

定义：设函数 y = f ( x ) 在数集 A 有定义。

若 对任意的 x1 , x2 ∈ A ，有 x1 ≠ x2 推出 f ( x 1) ≠ f ( x 2) （或 f ( x 1) = f ( x 2) 推出 x1 = x2 ），则称函数 y = f ( x ) 在数集 A 一一对应 。

定义：设函数 y = f ( x ) 在数集 A 一一对应 ，即对任意的 y ∈ f ( A) 只有唯一一个 x ∈ A ,使 f ( x ） = y ，这是一个由 F ( A ) 到 A 的新的对应关系，称为函数 y = f ( x ) 的反函数 ， 表示为

反函数图

定理1、若函数 y = f ( x ) 在数集 A 严格增加 （严格减少），则函数 y = f ( x ) 存在反函数，且反函数 x = f^(-1)( y ) 也严格增加（严格减少）。

反函数的性质：

1、单调函数必有反函数。有反函数的函数不一定是单调函数，例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) ;

2、奇函数不一定有反函数，例如 y = sin x , y = x - 1/x ；当奇函数存在反函数时，反函数一定是奇函数。

例如反比例函数 y = K/x ( K ≠ 0 ) 的反函数还是 y = K/x ( K ≠ 0 ) 。

3、偶函数不一定没有反函数，例如 y = 1 , x ∈ { 0 } 。

反函数与原函数的关系：

1、反函数的定义域是原函数的值域，反函数的值域是原函数的定义域；

2、互为反函数的两个函数的图像关于直线 y = x 对称 ；

3、原函数若是奇函数，则其反函数为奇函数；

4、若函数是单调函数，则一定有反函数，且反函数的单调性与原函数的一致；

5、原函数与反函数的图像若有交点，则交点一定在直线 y = x 上或关于直线 y = x 对称出现 。

原函数 y = f ( x ） 与 反函数 y = f^(-1)( x ) 的图像关于直线 y = x 对称

对称图（1）

幂函数中原函数与反函数的图像关于直线 y = x 对称

（2）

指数函数和对数函数互为反函数，图像关于直线 y = x 对称

指数函数与对数函数图（1）

指数函数与对数函数图（2）

指数函数与对数函数图（3）

例题3、

例题3图

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