有理数的分类（有理数的相关知识）

1、有理数：

（1）有理数的定义：正整数、0、负整数统称为整数；正分数、负分数统称为分数。整数和分数统称为有理数 。（有理数只包括整数和分数，无限不循环小数不是有理数。）

（2）有理数的分类:

(1)按整数和分数的关系分类：有理数分为整数和分数.(其中整数包括正整数、0、负整数；分数包括正分数和负分数。）

（2）按正数、0和负数的关系分类：有理数分为正有理数、0、负有理数。（其中正有理数包括正整数和正分数；负有理数包括负整数和负分数。）

2、数轴：

（1）数轴的定义：在数学 中，可以用一条直线上的点表示数，这条直线叫做数轴，它满足以下要求：

• 在直线上任取一个点表示数0，这个点叫做原点；

• 通常规定直线上从原点向右（或上）为正方向，从原点向左（或下）为负方向；

• 选取适当的长度为单位长度，直线上从原点向右，每隔一个单位长度取一个点，依次表示1,2,3，……；从原点向左，用类似方法依次表示-1，-2，-3，……，如下图所示。

分数或小数也可以用数轴上的点表示。（数轴的三要素：原点、正方向和单位长度，三者缺一不可）

（2）数轴上的点和有理数

一般地，设a是一个正数，则数轴上表示数a的点在原点的右边，与原点的距离是a个单位长度；表示 -a 的点在原点的左边，与原点的距离是a个单位长度。

3、相反数

（1）相反数的概念

像5和-5,3和-3这样，只有符号不同的两个数叫做互为相反数。

一般地，a和-a互为相反数，特别地，0的相反数是0，这里，a表示任意一个数，可以是正数、负数，也可以是0.（a与-a到原点的距离相等）

（2）相反数的几何意义

互为相反数的两个数在数轴上对应的两个点位于原点的两侧且到原点的距离相等；反之，位于原点的两侧且到原点的距离相等的点所表示的两个数互为相反数。

注：互为相反数的两数之和为0.

例1：(衡阳中考）-3的相反数是（ )

A、3 B、-3 C、1/3 D、-1/3

解析：根据相反数的定义得-3的相反数是3.故选A。

例2:（20河南中考） 2的相反数是（ ）

A、-2 B、-1/2 C、1/2 D、2

解析：根据相反数的定义得2的相反数是-2.故选A。

4、绝对值

（1）绝对值的定义

一般地，数轴上表示数a的点与原点的距离叫做数a的绝对值。记作|a|。

（2）绝对值的意义

& 绝对值的代数意义：一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0的绝对值是0.即：

如果a>0,那么∣a∣=a；

如果a=0，那么∣a∣=0；

如果a<0，那么∣a∣=-a。

巧记口诀：数求绝对值，非负不迟疑，“正“本身，“负”相反，0是自身不用管。

& 绝对值的几何意义：一个数的绝对值就是表示这个数的点到原点的距离，离原点的距离越远，绝对值越大；离原点越近，绝对值越小。

（3）绝对值的性质

绝对值具有非负性，即有|a| 》0,；若几个数的绝对值的和是0，则每个数都等于0，

即 |a|+|b|+|c|+…+|m|=0,则a=b=…=m=0.

例1：（枣庄中考）-1/2的绝对值等于（ ）

A、-2 B、-1/2 C、1/2 D、2

解析：一个负数的绝对值是它的相反数，得：|-1/2|=1/2，故选C。

例2：（河南中考）-2的绝对值是（ ）

A、2 B、-2 C、1/2 D、-1/2

解析：一个负数的绝对值是它的相反数，得|-2|=2，故选A。

规律方法：

（1）一个数的绝对值是其本身或相反数，绝对值是非负数。

（2）绝对值是a（a>0)的数有两个，它们互为相反数。

5、有理数大小的比较：

（1）利用数轴：在数轴上表示有理数，它们从左到右的顺序，就是从小到大的顺序，即左边的数小于右边的数。

（2）利用法则：

& 正数大于0，0大于负数，正数大于负数。

& 两个负数，绝对值大的反而小。

设a,b是两个负有理数，则|a|>|b| ⇔ a< b； |a|=|b| ⇔ a=b; |a|<|b| ⇔ a>b.l两个正数，绝对值大的数大。

例1：有理数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，把 -a,-b，0按照从小到大的顺序排列，正确的是（ ）

A、-a<0<-b B、0<-a<-b C、-b<0<-a D、0<-b<-a

解析：因为a<0，所以-a>0.因为b>0，所以-b<0，所以-b<0<-a ，故选C。

规律方法：异号两数比较大小，要考虑它们的正负；同号两数比较大小，要考虑它们绝对值的大小。在比较两数大小时，可借助数轴分析。

例2：数轴上到原点的距离等于4的数是 .

解析：在数轴上到原点的距离等于4的数是-4和4.