递归数列（二级结论高中数学）
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递归数列（二级结论高中数学）原创数据结构和算法2020-08-10 10:19:13
啥叫递归
聊递归之前先看一下什么叫递归。
递归，就是在运行的过程中调用自己。
构成递归需具备的条件：
1. 子问题须与原始问题为同样的事，且更为简单；
2. 不能无限制地调用本身，须有个出口，化简为非递归状况处理。
递归语言例子
我们用2个故事来阐述一下什么叫递归。
1，从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？“从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？‘从前有座山，山里有座庙，庙里有个老和尚，正在给小和尚讲故事呢！故事是什么呢？……’”
2，大雄在房里，用时光电视看着从前的情况。电视画面中的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况。电视画面中的电视画面的那个时候，他正在房里，用时光电视，看着从前的情况……
递归模板
我们知道递归必须具备两个条件，一个是调用自己，一个是有终止条件。这两个条件必须同时具备，且一个都不能少。并且终止条件必须是在递归最开始的地方，也就是下面这样
public void recursion(参数0) { if (终止条件) { return;
}
recursion(参数1);
}
不能把终止条件写在递归结束的位置，下面这种写法是错误的
public void recursion(参数0) {
recursion(参数1); if (终止条件) { return;
}
}
如果这样的话，递归永远退不出来了，就会出现堆栈溢出异常(StackOverflowError)。
但实际上递归可能调用自己不止一次，并且很多递归在调用之前或调用之后都会有一些逻辑上的处理，比如下面这样。
public void recursion(参数0) { if (终止条件) { return;
}
可能有一些逻辑运算 recursion(参数1)
可能有一些逻辑运算 recursion(参数2)
…… recursion(参数n)
可能有一些逻辑运算
}
实例分析
我对递归的理解是先往下一层层传递，当碰到终止条件的时候会反弹，最终会反弹到调用处。下面我们就以5个最常见的示例来分析下
1，阶乘
我们先来看一个最简单的递归调用-阶乘，代码如下
public int recursion(int n) { if (n == 1) return 1; return n * recursion(n - 1);5}
这个递归在熟悉不过了，第2-3行是终止条件，第4行是调用自己。我们就用n等于5的时候来画个图看一下递归究竟是怎么调用的
如果看不清，图片可点击放大。
这种递归还是很简单的，我们求f(5)的时候，只需要求出f(4)即可，如果求f(4)我们要求出f(3)……，一层一层的调用，当n=1的时候，我们直接返回1，然后再一层一层的返回，直到返回f(5)为止。
递归的目的是把一个大的问题细分为更小的子问题，我们只需要知道递归函数的功能即可，不要把递归一层一层的拆开来想，如果同时调用多次的话这样你很可能会陷入循环而出不来。比如上面的题中要求f(5)，我们只需要计算f(4)即可，即f(5)=5*f(4)；至于f(4)是怎么计算的，我们就不要管了。因为我们知道f(n)中的n可以代表任何正整数，我们只需要传入4就可以计算f(4)。
2，斐波那契数列
我们再来看另一道经典的递归题，就是斐波那契数列，数列的前几项如下所示
[1，1，2，3，5，8，13……]
我们参照递归的模板来写下，首先终止条件是当n等于1或者2的时候返回1，也就是数列的前两个值是1，代码如下
public int fibonacci(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1;
这里是递归调用；
}
递归的两个条件，一个是终止条件，我们找到了。还一个是调用自己，我们知道斐波那契数列当前的值是前两个值的和，也就是
fibonacci(n) =fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2)
所以代码很容易就写出来了
//1,1,2,3,5,8,13……public int fibonacci(int n) { if (n == 1 || n == 2) return 1; return fibonacci(n - 1) + fibonacci(n - 2);
}
3，汉诺塔
通过前面两个示例的分析，我们对递归有一个大概的了解，下面我们再来看另一个示例-汉诺塔，这个其实前面讲过，有兴趣的可以看下362，汉诺塔
汉诺塔的原理这里再简单提一下，就是有3根柱子A，B，C。A柱子上由上至下依次由小至大排列的圆盘。把A柱子上的圆盘借B柱子全部移动到C柱子上，并且移动的过程始终是小的圆盘在上，大的在下。我们还是用递归的方式来解这道题，先来定义一个函数
public void hanoi(int n, char A, char B, char C)
他表示的是把n个圆盘从A借助B成功的移动到C。
我们先来回顾一下递归的条件，一个是终止条件，一个是调用自己。我们先来看下递归的终止条件就是当n等于1的时候，也就是A柱子上只有一个圆盘的时候，我们直接把A柱子上的圆盘移动到C柱子上即可。
//表示的是把n个圆盘借助柱子B成功的从A移动到Cpublic static void hanoi(int n, char A, char B, char C) { if (n == 1) { //如果只有一个，直接从A移动到C即可
System.out.println("从" + A + "移动到" + C); return;
}
这里是递归调用
}
再来看一下递归调用，如果n不等于1，我们要分3步，
1，先把n-1个圆盘从A借助C成功的移动到B
2，然后再把第n个圆盘从A移动到C
3，最后再把n-1个圆盘从B借助A成功的移动到C。
那代码该怎么写呢，我们知道函数
hanoi(n, 'A', 'B', 'C')表示的是把n个圆盘从A借助B成功的移动到C
所以hanoi(n-1, 'A', 'C', 'B')就表示的是把n-1个圆盘从A借助C成功的移动到B
hanoi(n-1, 'B', 'A', 'C')就表示的是把n-1个圆盘从B借助A成功的移动到C
所以上面3步如果用代码就可以这样来表示
1，hanoi(n-1, 'A', 'C', 'B')
2，System.out.println("从" + A + "移动到" + C);
3，hanoi(n-1, 'B', 'A', 'C')
所以最终完整代码如下
1//表示的是把n个圆盘借助柱子B成功的从A移动到C2public static void hanoi(int n, char A, char B, char C) {3 if (n == 1) {4 //如果只有一个，直接从A移动到C即可5 System.out.println("从" + A + "移动到" + C);6 return;7 }8 这里是递归调用9}//表示的是把n个圆盘借助柱子B成功的从A移动到Cpublic static void hanoi(int n, char A, char B, char C) { if (n == 1) { //如果只有一个，直接从A移动到C即可
System.out.println("从" + A + "移动到" + C); return;
} //表示先把n-1个圆盘成功从A移动到B
hanoi(n - 1, A, C, B); //把第n个圆盘从A移动到C
System.out.println("从" + A + "移动到" + C); //表示把n-1个圆盘再成功从B移动到C
hanoi(n - 1, B, A, C);
}
通过上面的分析，是不是感觉递归很简单。所以我们写递归的时候完全可以套用上面的模板，先写出终止条件，然后在写递归的逻辑调用。还有一点非常重要，就是一定要明白递归函数中每个参数的含义，这样在逻辑处理和函数调用的时候才能得心应手，函数的调用我们一定不要去一步步拆开去想，这样很有可能你会奔溃的。
4，二叉树的遍历
再来看最后一个常见的示例就是二叉树的遍历，在前面也讲过，如果有兴趣的话可以看下373，数据结构-6,树，我们主要来看一下二叉树的前中后3种遍历方式，
1，先看一下前序遍历（根节点最开始），他的顺序是
根节点→左子树→右子树
我们来套用模板看一下
public void preOrder(TreeNode node) { if (终止条件)// (必须要有)
return;
逻辑处理//（不是必须的）
递归调用//(必须要有)}
终止条件是node等于空，逻辑处理这块直接打印当前节点的值即可，递归调用是先打印左子树在打印右子树，我们来看下
public static void preOrder(TreeNode node) { if (node == null) return;
System.out.printf(node.val + "");
preOrder(node.left);
preOrder(node.right);
}
中序遍历和后续遍历直接看下
2，中序遍历（根节点在中间）
左子树→根节点→右子树
public static void inOrder(TreeNode node) { if (node == null) return;
inOrder(node.left);
System.out.println(node.val);
inOrder(node.right);
}
3，后序遍历（根节点在最后）
左子树→右子树→根节点
public static void postOrder(TreeNode tree) { if (tree == null) return;
postOrder(tree.left);
postOrder(tree.right);
System.out.println(tree.val);
}
5，链表的逆序打印
这个就不在说了，直接看下
public void printRevers(ListNode root) { //（终止条件）
if (root == null) return; //（递归调用）先打印下一个
printRevers(root.next); //（逻辑处理）把后面的都打印完了在打印当前节点
System.out.println(root.val);
}
分支污染问题
通过上面的分析，我们对递归有了更深一层的认识。但总觉得还少了点什么，其实递归我们还可以通过另一种方式来认识他，就是n叉树。在递归中如果只调用自己一次，我们可以把它想象为是一棵一叉树（这是我自己想的，我们可以认为只有一个子节点的树），如果调用自己2次，我们可以把它想象为一棵二叉树，如果调用自己n次，我们可以把它想象为一棵n叉树……。就像下面这样，当到达叶子节点的时候开始往回反弹。
递归的时候如果处理不当可能会出现分支污染导致结果错误。为什么会出现这种情况，我先来解释一下，因为除了基本类型是值传递以外，其他类型基本上很多都是引用传递。看一下上面的图，比如我开始调用的时候传入一个list对象，在调用第一个分支之后list中的数据修改了，那么后面的所有分支都能感知到，实际上也就是对后面的分支造成了污染。
我们先来看一个例子吧
给定一个数组nums=[2，3，5]和一个固定的值target=8。找出数组sums中所有可以使数字和为target的组合。先来画个图看一下
图中红色的表示的是选择成功的组合，这里只画了选择2的分支，由于图太大，所以选择3和选择5的分支没画。在仔细一看这不就是一棵3叉树吗，OK，我们来使用递归的方式，先来看一下函数的定义
private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) {
}
在把递归的模板拿出来
private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { if (终止条件) { return;
} //逻辑处理
//因为是3叉树，所以这里要调用3次
//递归调用
//递归调用
//递归调用
//逻辑处理}
这种解法灵活性不是很高，如果nums的长度是3，我们3次递归调用，如果nums的长度是n，那么我们就要n次调用……。所以我们可以直接写成for循环的形式，也就是下面这样
private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有
if (终止条件) { return;
} //逻辑处理(可有可无，是情况而定)
for (int i = 0; i < sums.length; i++) { //逻辑处理(可有可无，是情况而定)
//递归调用(递归调用必须要有)
//逻辑处理(可有可无，是情况而定)
} //逻辑处理(可有可无，是情况而定)}
下面我们再来一步一步看
1，终止条件是什么？
当target等于0的时候，说明我们找到了一组组合，我们就把他打印出来，所以终止条件很容易写，代码如下
if (target == 0) {
System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return;
}
2，逻辑处理和递归调用
我们一个个往下选的时候如果要选的值比target大，我们就不要选了，如果不比target大，就把他加入到list中，表示我们选了他，如果选了他之后在递归调用的时候target值就要减去选择的值，代码如下
//逻辑处理 //如果当前值大于target我们就不要选了 if (target < sums[i]) continue; //否则我们就把他加入到集合中 cur.add(sums[i]); //递归调用 combinationSum(cur, sums, target - sums[i]);
终止条件和递归调用都已经写出来了，感觉代码是不是很简单，我们再来把它组合起来看下完整代码
private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有
if (target == 0) {
System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return;
} for (int i = 0; i < sums.length; i++) { //逻辑处理
//如果当前值大于target我们就不要选了
if (target < sums[i]) continue; //否则我们就把他加入到集合中
cur.add(sums[i]); //递归调用
combinationSum(cur, sums, target - sums[i]);
}
我们还用上面的数据打印测试一下
public static void main(String[] args) { new Recursion().combinationSum(new ArrayList<>(), new int[]{2, 3, 5}, 8);
}
运行结果如下
是不是很意外，我们思路并没有出错，结果为什么不对呢，其实这就是典型的分支污染，我们再来看一下图
当我们选择2的时候是一个分支，当我们选择3的时候又是另外一个分支，这两个分支的数据应该是互不干涉的，但实际上当我们沿着选择2的分支走下去的时候list中会携带选择2的那个分支的数据，当我们再选择3的那个分支的时候这些数据还依然存在list中，所以对选择3的那个分支造成了污染。有一种解决方式就是每个分支都创建一个新的list，也就是下面这样，这样任何一个分支的修改都不会影响到其他分支。
再来看下代码
private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有
if (target == 0) {
System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return;
} for (int i = 0; i < sums.length; i++) { //逻辑处理
//如果当前值大于target我们就不要选了
if (target < sums[i]) continue; //由于List是引用传递，所以这里要重新创建一个
List<Integer> list = new ArrayList<>(cur); //把数据加入到集合中
list.add(sums[i]); //递归调用
combinationSum(list, sums, target - sums[i]);
}
}
我们看到第13行是重新创建了一个list。再来打印一下看下结果，结果完全正确，每一组数据的和都是8
上面我们每一个分支都创建了一个新的list，所以任何分支修改都只会对当前分支有影响，不会影响到其他分支，也算是一种解决方式。但每次都重新创建数据，运行效率很差。我们知道当执行完分支1的时候，list中会携带分支1的数据，当执行分支2的时候，实际上我们是不需要分支1的数据的，所以有一种方式就是从分支1执行到分支2的时候要把分支1的数据给删除，这就是大家经常提到的回溯算法，我们来看下
private void combinationSum(List<Integer> cur, int sums[], int target) { //终止条件必须要有
if (target == 0) {
System.out.println(Arrays.toString(cur.toArray())); return;
} for (int i = 0; i < sums.length; i++) { //逻辑处理
//如果当前值大于target我们就不要选了
if (target < sums[i]) continue; //把数据sums[i]加入到集合中，然后参与下一轮的递归
cur.add(sums[i]); //递归调用
combinationSum(cur, sums, target - sums[i]); //sums[i]这个数据你用完了吧，我要把它删了
cur.remove(cur.size() - 1);
}
}
我们再来看一下打印结果，完全正确
递归分支污染对结果的影响
分支污染一般会对结果造成致命错误，但也不是绝对的，我们再来看个例子。生成一个2^n长的数组，数组的值从0到(2^n)-1，比如n是3，那么要生成
[0, 0, 0] [0, 0, 1] [0, 1, 0] [0, 1, 1] [1, 0, 0] [1, 0, 1] [1, 1, 0] [1, 1, 1]
我们先来画个图看一下
这不就是个二叉树吗，对于递归前面已经讲的很多了，我们来直接看代码
private void binary(int[] array, int index) { if (index == array.length) {
System.out.println(Arrays.toString(array));
} else { int temp = array[index]; array[index] = 0;
binary(array, index + 1); array[index] = 1;
binary(array, index + 1); array[index] = temp;
}
}
上面代码很好理解，首先是终止条件，然后是递归调用，在调用之前会把array[index]的值保存下来，最后再还原。我们来测试一下
new Recursion().binary(new int[]{0, 0, 0}, 0);
看下打印结果
结果完全正确，我们再来改一下代码
private void binary(int[] array, int index) { if (index == array.length) {
System.out.println(Arrays.toString(array));
} else { array[index] = 0;
binary(array, index + 1); array[index] = 1;
binary(array, index + 1);
}
}
再来看一下打印结果
和上面结果一模一样，开始的时候我们没有把array[index]的值保存下来，最后也没有对他进行复原，但结果丝毫不差。原因就在上面代码第5行array[index]=0，这是因为，上一分支执行的时候即使对array[index]造成了污染，在下一分支又会对他进行重新修改。即使你把它改为任何数字也都不会影响到最终结果，比如我们在上一分支执行完了时候我们把它改为100，你在试试
private void binary(int[] array, int index) { if (index == array.length) {
System.out.println(Arrays.toString(array));
} else { array[index] = 0;
binary(array, index + 1); array[index] = 1;
binary(array, index + 1); //注意，这里改成100了
array[index] = 100;
}
}
我们看到第10行，把array[index]改为100了，最终打印结果也是不会变的，所以这种分支污染并不会造成最终的结果错误。
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- 发表于 2021-05-01 19:07
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- 分类：互联网
