质数和合数（质数和合数的概念）

一．概念描述

现代数学：一个大于1的整数，如果除1和它本身以外，没有其他的约数，这样的数就叫作质数，也叫素数。一个大于1的整数，如果除了1和它本身以外，还有其他的约数，这样的数就叫作合数。

小学数学：2004年北京版教材第10册第56页提出：一个数除了1和它本身，不再有别的约数，这个数叫作质数（也叫作素数）。—个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫作合数。

2013年人教版教材五年级下册第23页提出：一个数，如果只有1和它本身两个因数，这样的数叫作质数（或素数）。一个数，如果除了1和它本身还有别的因数，这样的数叫作合数。

二．概念解读

①由质数和合数的概念可以知道，在非0的自然数中，1既不是质数也不是合数。历史上曾将1也包含在质数之内，但后来为了算术基本定理，最终1被数学家排除在质数之外。在小学阶段，学生学习质数和合数，是为后面学习求最大公因数、最小公倍数以及约分、通分打下基础。

②在数论中，质数有着重要的地位，一直吸引着许多数学家们不断去探索。2500年前，古希腊数学家欧几里得证明了质数的个数是无限的，并提出少量质数可写成“2的n次方减1”的形式---这里n也是一个质数。此后，许多数学家曾对这种质数进行研究。17世纪的法国教士梅森是其中成果较为卓著的一位，因此后人将“2的n次方减1”形式的质数称为梅森质数。

由于梅森质数有许多独特的性质和无穷的魅力，千百年来一直吸引着众多的数学家，如欧几里得、费马、笛卡尔、莱布尼兹、哥德巴赫、欧拉、高斯、哈代、图灵等和无数的业余数学爱好者对它进行研究和探寻。目前，人类仅发现 47个梅森质数。其中最大的质数是第46个梅森质数“2的43112609次方-1”，该质数有12978189位。如果用常用的二号字将这个巨数连续写下来，其长度可超过50千米！是否有无穷多个梅森质数是数论中未解决的难题之一。由于这种质数珍奇而迷人，因此被人们誉为“数海明珠”。

特别值得一提的是，我国数学家和语言学家周海中于1992年首先给出了梅森质数分布的准确表达式，从而揭示了梅森质数的重要规律，为人们探寻梅森质数提供了方便。后来这一成果被学术界命名为“周氏猜测”。

梅森质数在当代具有十分丰富的理论意义和实用价值。它是发现已知最大质数的最有效途径。它的探究推动了数学皇后---数论的研究，促进了计算技术，程序设计技术，网络技术，密码技术的发展以及快速傅里叶变换的应用。

由于探寻梅森质数需要多种学科和技术的支持，所以许多科学家认为：梅森质数的研究成果，在一定程度上反映了一个国家的科技水平。英国顶尖科学家马克斯·索托伊甚至认为，它是人类智力发展在数学上的一个标志，也是科学发展的里程碑。

③质数的应用。

质数近来被利用在密码学上，所谓的公钥就是将想要传递的信息在编码时加入质数，编码之后传送给收信人。任何人收到此信息后，若没有此收信人所拥有的密钥，则解密的过程中（实为寻找质数的过程），将会因为找质数的过程过久，使得即使取得佶息也会无意义。

再有，在汽车变速箱齿轮的设计上，相邻的两个齿轮齿数最好设计成质数，目的是增加两齿轮内两个相同的齿相遇啮合次数的最小公倍数，这样可增强耐用度，减少故障。

另外，在害虫的生物生长周期与杀虫剂使用次数之间的关系上，杀虫剂的质数次数的使用效果最好也得到了证明。实验表明，质数次数地使用杀虫剂是最合理的：都是在害虫繁殖的高潮期使用，而且害虫很难产生抗药性。

在军事上，以质数形式无规律变化的导航和鱼雷可以使敌人不易拦截。

④有趣的质数。

a．孪生质数。

孪生质数指的是间隔为2的相邻质数，它们之间的距离已经近得不能再近了，就像孪生兄弟一样。

最小的孪生质数是(3,5)，在100以内的孪生质数还有(5,7),(11, 13), (17, 19), (29, 31), (41, 43), (59, 61)和(71,73)，总计有8组。

截至2009年年底，人们发现的晟大的孪生质数是：2003663613·2的196000次方±1，这一对质数都长达100355位。

b幸运质数。

幸运质数是既是质数又是幸运数的数。幸运数是1955年波兰数学家乌拉姆提出的，经由类似埃拉托斯特尼筛法（一种用删去法检定质数的算法）的算法后留下的整数集合，具体包括：1、3、7、9、13、15、21、25、31、33、37、43、49、51、63、67、69、73、75、79、87、93、99---1000以内的幸运质数为：3，7，1 3，31，37，43，67，73，79，127, 151, 163, 193, 211, 223, 241, 283, 307, 331, 349, 367,409, 421, 433, 463, 487, 541, 577, 601, 613, 619, 631, 643, 673,727, 739, 769, 787, 823, 883, 937, 991, 997。

c．回文质数。

回文质数是既是质数义是回文数的整数，像11，101，131，151，181, 191, 313, 353, 373, 383, 727, 757, 787, 797, 919, 929等。

目前还不知道在十进制中是否有无穷多个回文质数。已知最大的回文质数为10的180004次方+ 248797842x10的89998次方+1，是2007年由都伯纳发现的。

下面是回文数组成的金字塔：

2

30203

133020331

1713302033171

12171330203317121

151217133020331712151

1815121713302033171215181

16181512171330203317121518161

331618151217133020331712151816133

93331 61 8151 21713302033171215181613339

11933316181512171330203 317121518161333911

在这个金字塔上，下面每一个质数都是在上面质数的基础上，前面和后面加两位数。四。教学建议

①教师在教学质数和合数时，可以先让学生找出1-20各数的因数，然后引导学生观察，并试着将这20个数进行分类，在分类的基础上，引出质数和合数的概念。也可以借助小正方形，让学生拼一拼，当个数分别为1-20各数时，每个数能拼出几种不同的长方形。然后引导学生观察思考：为什么有的个数能拼出几种，有的只能拼出一种，还有的无法拼？从而使学生认识到与每个数的因数的个数有关，揭示出质数和合数的概念。

学生认识了质数和合数后，教师可以引导学生利用筛法找出100以内的质数，并找出最小的质数是几，最小的合数是几。

②学生在解决问题时，容易把质数和奇数、合数与偶数混同起来，因此要结合质数表，引导学生思考：是不是所有的质数都是奇数？所有的奇数都是质数？所有的偶数都是合数？

四．推荐阅读

(1)《小学数学知识树》（刘开云、李燕燕，北京大学出版社，2008）

该书第一部分《数与运算》的第二章《数的整除》中介绍了与质数和合数有关的知识。

(2)《翻开数学的画卷---感受数学世界的人、文、情》（吴正宪，北京师范大学出版社，2010）

该书紧密配合小学数学教材，介绍相关数学知识的历史发展、数学家的故事以及数学在现实生活中的广泛应用。其中，在数的整除中介绍了与质数有关的知识。